パナソニック Panasonic
蛇口型浄水器 TK-CJ22-S

カートリッジは一つセットされているので同時購入の必要はありません。予備交換用として備えておく考えもありますが、自分は一年を目途に衛生面を気にしてセットで交換しています。カートリッジだけだと割高感もしますし。

壁からの給水・給湯の２ハンドルタイプの混合水栓ですね。
2ハンドルでは温度調整も難しいので、壁取付用シングルレバー混合水栓に
交換し浄水器を取りつける。
又は、浄水器内蔵の物に交換する等で、できると思います。
給湯機の温度調整ができるのであれば、給湯温度を42~43ど程度に調整し
使用する事をお勧めします。
ご自分で交換されるのでしょうか？
DIYはさほど難しくないので検討してみてください。
浄水器なしのシングルレバー混合水栓は\7,000~、浄水器内蔵は\16,000~
画像はtoto製です

本体とカートリッジは同梱されていますよ

ウチも混合栓でこの浄水器を使用しています。毎度レバーを操作して浄水を出すタイミングでは冷水に切り替えてはいますが、ご両親がその手間が負担かどうかまではわかりかねます。
完璧にミスなくというのがお望みでしたら混合栓ではなく蛇口を給湯と水道直結を分離することだと思いますが要工事で負担になりますね。

価格は少し高いですが、皆さんが言われるように標準で１年は使用できますのでコスパは良い方だと思います。本体は２年程度で切り替え部分がクリック感が悪くなるような気がしますので、今回は本体ごと購入しました。

取り外せないタイプなら無理だと思います。

念のため、↓取扱説明書で蛇口の形状を確認してみてください。
https://panasonic.jp/p-db/contents/manualdl/1428316624157.pdf