AwA

電源オンのスイッチだけ点灯します。

はい。オレンジ色に点灯します。

質問者様が使用しているHDDは、おそらくバッファローのmac用外付けハードディスクの『HD-M2.0TIBSU2』であっていますでしょうか。
そうであれば該当ポートの形状、おそらく左から5番目のポートは「miniUSB2.0」の端子になっています。
以下にバッファローHPの該当HDDのページURLを記載しておきますので参照までに。
https://www.buffalo.jp/product/detail/manual/hd-m2.0tibsu2.html
一応バッファローHPは外部にあたるので、コピペして見たほうが良いです

ガラケー用に間違って購入しました。
パソコンとデジカメ用だったんですね。

申し訳ございません。
バッファローHD-MT.OTIBSU2 の仕様が分からないのでお答えできません。

このケーブルで形状、速度とも大丈夫です。

写真を見ると「miniB」のように見えますが、「HD-MT.OTIBSU2」をネットで調べても見つかりませんでしたので、断言できません。
ご質問を見ると「形状はミニUSB2.0」とありますが、「USB2.0」の「2.0」は通信技術のバージョンを示しており「コネクタ形状」とは関係なく、バージョンは 1.1→2.0→3.0→4.0…のように上がり、その度に通信速度や機能がアップしています。
一方「B」のコネクタ形状は、標準B→miniB→microB と形状が多様化し、その度に「コネクタ形状が小型化」しています。
ケーブルや周辺機器に「USB2.0」と書かれているのは、「バージョン2.0までの性能しか保証できません」といったような意味です。
又、USBは国際的な規格ですので、お手元の機器の説明書を確認していただき、「miniB」と書かれていれば、どのケーブルを選んでも大丈夫だと思います。(只、品質や相性で使用できない場合もあります。)

黒いケーブルの左側がミニUSBですが、Mac側はUSB Aであれば接続可能です
余計なお世話かも知れませんが
そのケーブル細いですが柔軟性に乏しいですよ

済みません。基本的にMacは皆目です。間違える可能性大ですので、専門的テーマにも精通している、ヨドバシなど、大手の販売会社にお問い合わせと願えれば幸甚です。

バッファロ-製｢ＵＳＢ２.０ケｰブル(Ａ to miniＢ)スリムタイプ １ｍ ホワイト ＢＳＵＡＭＮＳＭ２１０ＷＨ」は､パｰソナルコンピュｰタとデジタルカメラや携帯ゲｰム機を接続するケｰブルです。
バッファロｰHD-MT.OTIBSU2 Mac用HDDの取扱説明書の『ミニ ＵＳＢ２.０』の記載を確認して下さい。

MCK70U-Wの場合、フィルターはKAFP085A4　の様です。
https://ec.daikinaircon.com/cgi-bin/betubai/DK_SYOUHIN_HYOUJI.cgi?kisyutype_f=30&hinban_f=KAFP085A4
上記アドレスにて確認できます。

メーカーさんに直接問い合わせください。買った機種以外合う

こちらでしょう。KAFP085A4
ヨドバシさんなら
https://www.yodobashi.com/product/100000001004149150/

ダイキンのホームページhttps://ec.daikinaircon.com/cgi-bin/betubai/DK_SYOUHIN_HYOUJI.cgi?kisyutype_f=30&hinban_f=KAFP029A4を確認しましたが、適用機種には含まれていません。
使っても大丈夫かは、直接ダイキンでお問い合わせされてはいかがですか。

MCK70N-Wには問題なく適応していますが。
70Uとの違いは判りません。

MCK70Uのフィルターは、KAFP085A4です。型番が違うので合わないと思います。