理論統計学教程:数理統計の枠組み 代数的統計モデル [全集叢書]

第1章　序章


第I部　マルコフ基底と正確検定

第2章　マルコフ基底を用いた正確検定の考え方
2.1　2×2の場合のフィッシャーの正確検定
2.2　一般の2元分割表の独立性の検定
2.3　2元分割表の独立性のモデルのマルコフ基底
2.4　離散指数形分布族とトーリックモデル
2.5　トーリックモデルのもとでの条件つき分布

第3章　マルコフ基底の定義とマルコフ連鎖の構成
3.1　マルコフ基底の定義
3.2　マルコフ基底の基本的な構成法
3.3　グレーバー基底とロジスティック回帰
3.4　推移確率の調整

第4章　マルコフ基底の諸性質
4.1　二項式と移動
4.2　マルコフ基底の基本定理
4.3　グレブナー基底と消去定理によるマルコフ基底の計算
4.4　グレブナー基底によるファイバーの有向グラフ化
4.5　マルコフ基底の極小性と一意極小性

第5章　いくつかのモデルに対するマルコフ基底
5.1　はじめに
5.2　多元分割表の記法
5.3　階層モデルと分解可能モデル
5.4　分解可能モデルのマルコフ基底
5.5　距離減少論法によるマルコフ基底の導出
5.6　既知のイデアルの性質から得られるマルコフ基底

第6章　格子基底を用いたマルコフ連鎖
6.1　マルコフ基底の実用上の限界
6.2　格子基底による正確検定の実装
6.3　ロジスティック回帰のマルコフ基底と格子基底
6.4　ローレンス持ち上げの格子基底
6.5　数値実験


第II部　グラフィカルモデルと条件つき独立性

第7章　階層モデルとグラフィカルモデル
7.1　グラフ・ハイパーグラフ・単体的複体
7.2　分割表の階層モデル
7.3　グラフと条件つき独立関係

第8章　単体的複体の既約成分への分解
8.1　ハイパーグラフの分解
8.2　コーダルグラフとその性質
8.3　階層モデルの分解と最尤推定
8.4　可約モデルのマルコフ基底の再帰的計算法

第9章　階層的部分空間モデル
9.1　階層モデルへの線形制約
9.2　階層的部分空間モデル
9.3　線形制約つきモデルの分解
9.4　階層的部分空間モデル
9.5　階層的部分空間モデルのマルコフ基底
9.6　CSIモデル

第10章　グラフの三角化と比例反復法
10.1　分割表の比例反復法
10.2　クリーク木を用いた情報伝搬アルゴリズム

第11章　Imsetによる条件つき独立性の推論
11.1　導入
11.2　Multiinformationの定義と性質
11.3　Imsetの定義と利用法
11.4　Imsetの完備性
11.5　Elementary　imsetとImsetのなす錐


第III部　実験計画法におけるグレブナー基底

第12章　一部実施要因計画とグレブナー基底
12.1　計画イデアル
12.2　標準単項式から得られる飽和モデル
12.3　母数の識別性とイデアル所属問題

第13章　2水準計画の指示関数
13.1　組み合わせ配置計画の応答空間
13.2　2水準計画の指示関数
13.3　レギュラーな一部実施計画の指示関数
13.4　指示関数とaberration

第14章　特性値が離散変数の場合の正確検定
14.1　観測値が独立なポアソン分布に従う場合
14.2　実験計画データに対する共変量行列
14.3　レギュラーな2水準計画
14.4　レギュラーな一部実施計画と多元分割表との関係
14.5　観測値が独立な二項分布に従う場合

付録　グレブナー基底の基礎
A.1　多項式環
A.2　Dicksonの補題
A.3　イデアル
A.4　単項式順序
A.5　グレブナー基底
A.6　ヒルベルト基底定理
A.7　イデアル所属問題
A.8　消去定理
A.9　トーリックイデアル
A.10　多項式環の剰余環

統計学と代数学の双方向的な発展を促している計算代数統計。統計モデルに対する計算代数的アプローチについて研究成果をもとに解説。

　1990年代の半ばに現れた「計算代数統計」は，統計学におけるそれ以前の代数学の応用と比較して，グレブナー基底の理論とアルゴリズムを用いることによって，マルコフ基底の計算など，統計学の応用にも直接役立つ代数的な計算を可能とし，また，統計学のさまざまな問題から，代数学，特に可換環論においても新たな理論的展開をもたらし，統計学と代数学の双方向的な発展をうながしてきた。さらに，微分作用素環のグレブナー基底の統計への応用など，現在でも大きな展開を見せている。
　本書では，統計モデルに対する計算代数的アプローチについて，これまでの筆者達の研究成果をもとに，マルコフ基底を用いた正確検定，グラフィカルモデルや条件つき独立性，実験計画法へのグレブナー基底の応用などを解説していく。本書を読む上で必要となるグレブナー基底の理論とアルゴリズムに関する基礎事項は，付録としてまとめている。統計理論に興味をもつ学生から，統計科学諸分野に携わる大学院生や研究者など，幅広く役立つ書となっている。

青木 敏(アオキ サトシ)
２０００年東京大学大学院工学系研究科計数工学専攻博士後期課程退学。現在、神戸大学大学院理学研究科数学専攻教授。博士（情報理工学）（東京大学）。専門、計算代数統計、数理統計

竹村 彰通(タケムラ アキミチ)
１９７６年東京大学経済学部経済学科卒業。現在、滋賀大学データサイエンス学部教授、学部長。Ｐｈ．Ｄ．（米国スタンフォード大学）。専門、統計学

原 尚幸(ハラ ヒサユキ)
１９９３年東京大学工学部計数工学科卒業。現在、同志社大学文化情報学部文化情報学科教授。博士（工学）（東京大学）。専門、多変量推測統計学